§ 31: 31.16 (1)

31.16 Розв’яжіть рівняння:

1) 4sin⁴x + cos4x = 1 + 12cos⁴x;

4 • (1-cos2x)2 4 2cos²2x – 1 = 1 + 12 • (1 + cos2x)2 4;

(1 – cos2x² + 2cos²2x – 1 = 1 + 3(1 + cos2x)²;

1 – 2cos2x + cos²2x + 2cos²2x – 1 = 1 + 3(1 + 2cos2x + cos²2x);

–2cos2x + 3cos²2x = 4 + 6cos2x + 3cos²2x;

–8cos2x = 4;

cos2x = –12; 2x = arccos(–12) + 2πn, n ∈ Z.

2x = 2π3 + 2πn, n ∈ Z; x = π3 + πn, n ∈ Z.

Відповідь: x = π3 + πn, n ∈ Z.

2) cos⁴3x + cos⁴(3x – π4) = 14;

(1+cos6x2)² + (1+cos(6x- π2)2)² = 14;

(1+cos6x2)² + (1+sin6x2)² = 14;

1 + 2cos6x + cos²6x + 1 + 2sin6x + sin²6x = 1;

2cos6x + 2sin6x = –2; cos6x + sin6x = –1;

2(cos6x • 22 + sin6x • 22) = –1;

cos6x • cosπ4 + sin6x • sinπ4 = –22;

6x – π4 = ± arccos(–22) + 2πn, n ∈ Z; 6x – π4 = ±3π4 + 2πn,

n ∈ Z; 6x = π4 ±3π4 + 2πn, n ∈ Z;

6x = π + 2πn, n ∈ Z; x = π6 + πn3, n ∈ Z;

–π2 +2πk, k ∈ Z; –π12 + πk3, k ∈ Z.

Відповідь: х = π6 + πn3, n ∈ Z; –π12 + πk3, k ∈ Z.