§ 31: 31.15 (1)

31.15 Розв’яжіть рівняння:

1) sin⁴ x + sin⁴ (x + π4) = 14;

(1-cos2x2)² + (1-cos(2x+ π2)2)² = 14;

(1 – cos2x)² + (1 +sin2x)² = 1; 1 – 2cos2x + cos²2x + 1 + 2sin2x + sin²2x = 1;

–2 cos2x + 2sin2x = –2; cos2x – sin2x = –1;

–2(22cos2x – 22sin2x) = –1;

cosπ4 • cos2x – sinπ4 • sin2x = 22;

cos(2x + π4) = 22;

2x + π4 = ± arccos22 + 2πn, n ∈ Z;

2x = ±π4 – π4 + 2πn, n ∈ Z;

2x = 2πn, n ∈ Z; x = πn, n ∈ Z;

–π2 + 2πk, k ∈ Z; –π4 + πk, k ∈ Z;

Відповідь: πn, n ∈ Z; –π4 + πk, k ∈ Z;

2) sin⁴x + sin⁴(x + π4) + sin⁴(x – π4) = 0,5;

(1-cos2x2)² + (1-cos(2x+ π2)2)² + (1-cos(2x- π2)2)² = (1 – cos2x)² + (1 + sin2x)² + (1 – sin2x)² = 2;

1 – 2cos2x + cos²2x – 1 + 2sin2x + sin²2x + 1 – 2sin2x + sin²2x = 2;

4 – 2cos2x + sin²2x = 2; 2 – 2cos2x + 1 – cos²2x = 0;

cos²2x + 2cos2x – 3 = 0. Нехай cos2x = t; |t| ≤ 1, тоді

t² + 2t – 3 = 0 ⇒ t₁ = –3 ∉ [–1; 1]; t₂= 1. Маємо: cos2x= 1; 2x =

= 2πn, n ∈ Z; x = πn, n ∈ Z.

Відповідь: πn, n ∈ Z.