§ 31: 31.14 (1)

31.14 Розв’яжіть рівняння:

1) 3 • 2sinx2cosx2 + 5(cos2x2 – sin²x2) + 3(cos²x2 + sin²x2) = 0;

6sinx2cosx2 + 5cos²x2 – 5sin²x2 + 3cos²x2 + 3sin²x2 = 0;

–2sin²x2 + 6sinx2cosx2 + 8cos²x2 = 0|: (–2cos²x2);

tg²x2 – 3tgx2 – 4 = 0. Заміна: tg x2 = t;

t² – 3t – 4 = 0; t₁ = 4; t₂ = –1.

Обернена заміна:

tgx2 = 4; x2 = arctg4+ πn, n ∈ Z; x = 2arctg4 + 2πn, n ∈ Z;

tgx2 = –1; x2 = –π4 + πk, k ∈ Z; x = –π2 + 2πk, k ∈ Z.

Відповідь: 2arctg4 + 2πn; –π2 + 2πk, n, k ∈ Z.

2) 33 • 2sinx2cosx2 – 5(cos²x2 – sin²x2) – 7(cos²x2 + sin²x2) = 0;

63sinx2cosx2 – 5cos²x2 + 5sin²x2 – 7cos²x2 – 7sin²x2 = 0;

–2sin²x2 + 53sinx2cosx2 – 12cos²x2 = 0|: (–2cos²x2);

tg²x233tgx2 + 6 = 0.

Заміна: tgx2 = t; t² – 33t + 6 = 0;

D = (–33)² – 4 • 6 = 27 – 24 = 3;

D = 3;t₁ = 33- 32 = 3;t₂ = 33+ 32 = 23.

Обернена заміна:

tgx2 = 3; x2 = π3 + πn, n ∈ Z; x = 2π3 + πn, n ∈ Z;

tgx2 = 23; x2 = arctg23 + πk, k ∈ Z; x = 2arctg23 + 2πk, k ∈ Z.

Відповідь: 2π3 + πn; 2arctg23 + 2πk, n, k ∈ Z.