§ 31: 31.13 (1)

31.13 Розв’яжіть рівняння:

1) Скористаємося тотожностями: sin x = 2sinx2cosx2; cosx = cos²x2 – sin²x2.

1) 3 • 2sinx2cosx2 – 8(cos²x2 – sin²x2) – 3(cos²x2 + sin²x2) = 0;

6sinx2cosx2 – 8cos²x2 + 8cos²x2 – 3cos²x2 – 3sin²x2 = 0;

5sin²x2 + 6sinx2cosx2 – 11cos²x2 = 0|: cos²x2; 5tg²x2 + 6tgx2 – 11 = 0.

Заміна: tg x2 = t; 5t² + 6t – 11 = 0; D = 6² – 4 : 5 • (–11) = 256;

D = 16; t₁ = -6-162 • 5 = –115; _t2 = -6+162 • 5 = 1.

Обернена заміна:

tgx2 = –115; x2 = arctg(–115) + πn, n ∈ Z; x = –2arctg115 + πn, n ∈ Z;

tgx2 = 1; x2 = π4 + πk, k ∈ Z; x = π2 + 2πk, k ∈ Z.

Відповідь: –2arctg115 + πn, n ∈ Z; π2 + 2πk, k ∈ Z.

2) 2 • 2sinx2cosx2 – 5(cos²x2 – sin²x2) – 3(cos²x2 + sin²x2) = 0;

4sinx2cosx2 – 5cos²x2 + 5sin²x2 – 3cos²x2 – 3sin²x2 = 0;

–8cos²x2 + 4sinx2cosx2 + 2sin²x2 = 0|: 2cos²x2;

tg²x2 + 2tgx2 – 4 = 0. Заміна: tg x2 = t;

t² + 2t – 4 = 0; D₁ = 1² • 1 • (–4) = 5; t1 = –1 – 5;

t2 = –1 + 5;

Обернена заміна:

tgx2 = –1– 5; x2 = arctg(–1 – 5) + πn, n ∈ Z; x = 2arctg(–1 – 5) + 2πn, n ∈ Z;

tgx2 = –1 + 5; x2 = arctg(–1 + 5) + πn, n ∈ Z; x = 2arctg(–1 + 5) + πn, n ∈ Z.

Відповідь: 2arctg(–1 – 5) + 2πn, n ∈ Z.