§ 31: 31.11 (1)

31.11 Розв’яжіть рівняння:

1) sin²2x – 14 = cos2x • cos6x;

1-cos4x2 = 14 = 12(cos4x + cos8x);

12 – 12cos4x – 14 = 12cos4x + 12cos8x;

14 – 12cos4x – 12cos4x – 12(cos²4x – 1) = 0;

14 – cos4x – cos²4x + 12 = 0;

–cos²4x – cos4x + 34 = 0.

Нехай cos4x = b, |b| ≤ 1.

Тоді – b² – b + 34 = 0; –(b² + b – 34) = 0;

D = 1 + 3 = 4; b₁ = -1+22 = 12; b₂ = –32 ∉ [–1; 1].

Маємо: cos4x = 12;

4x = ±arccos12 + 2πn, n ∈ Z;

4x = ± π3 + 2πn, n ∈ Z; x = ± π12 + πn2, n ∈ Z.

Відповідь: x = ± π12 + πn2, n ∈ Z.

2) 2sinx • cos3x = cos²4x – sin2x + 1;

sin(–2x) + sin4x = cos²4x – sin2x + 1;

–sin2x + sin4x = cos²4x – sin2x + 1;

–cos²4x + sin4x – 1 = 0;

–(1 – sin²4x) + sin4x – 1 = 0;

sin²4x + sin²4x – 2 = 0.

Нехай sin4x = t, |t| ≤ 1. Тоді t² + t – 2 = 0; t₁= –2 ∉ [–1; 1]; t₂ = 1. Маємо: sin4x = 1; 4x = π2 + 2πn, n ∈ Z; x = π8 + πn2, n ∈ Z.

Відповідь: x = π8 + πn2, n ∈ Z.