§ 30: 30.29 (1-2)

30.29 Розв’яжіть нерівність:

1) arccos(2x – 1) > π3; arccos(2x – 1) > arccos 12.

Оскільки y = arccos x – спадна, то нерівність рівносильна системі:

2x – 1 < 12; 2x < 32; x < 34; x < 34; ⇒ x ∈ [0; 34)

|2x – 1| ≤ 1; –1 ≤ 2x – 1 ≤ 1; 0 ≤ 2x ≤ 2; 0 ≤ x ≤ 1;

Відповідь: x ∈ [0; 34).

2) 2x > π6; arcsin 2x > arcsin 12. Оскільки y = arcsin x – зростаюча, то нерівність рівносильна системі

2x > 12; 2x > 12; x > 14; ⇒ x ∈ (14; 12].

|2x| ≤ 1; –1 ≤ 2x ≤ 1; –12 ≤ x ≤ 12

Відповідь: x ∈ (14; 12].

3) arcsin(5 – 3x) < –π3;

arcsin(5 – 3x) < arcsin(–32). Оскільки y = arcsinx – зростаюча функція, то нерівність рівносильна системі:

5 – 3x < -32; –3x < -32 – 5; –3x < -3- 102; x < 3+ 106; ⇒

|5 – 3x| ≤ 1; –1 ≤ 5 – 3x ≤ 1; –6 ≤ –3x ≤ –4; 2 ≥ x ≤ 43

⇒ x ∈ (3+ 106; 2].

Відповідь: x ∈ (3+ 106; 2].