§ 29: 29.8 (1-2)

29.8 Розв’яжіть рівняння:

1) ctg2π5x = 1; 2π5x = arcctg1 + πn, n ∈ Z;

2π5x = π4 + πn, n ∈ Z; 1x = 58 + 52n, n ∈ Z;

1x = 5+20n8, n ∈ Z; x = 85+20n, n ∈ Z;

2) tg1x = –1; 1x = arctg(–1) + πn, n ∈ Z;

arctg(–1) + πn > 0, n ∈ Z;

1x = –π4 + πn, n ∈ Z; 1x = –π4 + πn, n ∈ N;

–π4 + πn > 0, n ∈ Z;

1x = 4πn- π4 , n ∈ N; x = 44πn- π , n ∈ N;

x = 4(4πn- π)2, n ∈ N;

3) ctg(π cos x) = 1. Нехай cosx = t, t ∈ [–1; 1].

Тоді ctg(πt) = 1; πt = arcctg1 + πn, n ∈ Z;

πt = π4 + πn, n ∈ Z; t = (π4 + πn) : π, n ∈ Z;

Оскільки t ∈ [–1; 1], то t = 14 або t = –34.

Маємо:

1) cosx = 14; x = ±arccos14 + 2πn, n ∈ Z;

або

2) cosx = –34; x = ±arccos(–34) + 2πn, n ∈ Z;

Відповідь: x = ±arccos14 + 2πn, n ∈ Z; x = ±arccos(–34) + 2πn, n ∈ Z.