§ 25: 25.37 (1)

25.37 Доведіть тотожність:

1) 3 + 4cos4α + cos8α = 8cos⁴2α.

Л. ч. = 3 + 4cos4α + cos8α = 3 + 4(2cos² • 2α – 1) + 2cos²4α – 1 = 3 + 8 cos²2α – 4 + 2cos²4α – 1 = 8сos²2α + 2cos²4α – 2 = 8cos²2α + 2(2cos²2α – 1)2 – 2 = 8cos²2α + 2(4cos⁴2α – 4cos²2α + 1) – 2 = 8cos²2α + 8cos⁴2α – 8cos² 2α + 2 – 2 = 8 cos⁴ 2α = П.ч. Тотожність доведена.

2) cos24α-3π - 4cos22α- π + 3cos24α+3π + 4cos22α+ π - 1 = tg⁴2α.

Л. ч. = cos24α-3π - 4cos22α- π + 3cos24α+3π + 4cos22α+ π - 1 = cos24α - 4cos22α + 3cos24α + 4cos22α - 1 = (2cos22α-1)2 - 4cos22α + 3(2cos22α-1)2 + 4cos22α - 1 = 4cos42α - 4cos22α+1-4сos22α+34cos42α - 4cos22α+1-4cos22 α-1 = 4cos42α - 8cos22α+44cos42α = 4(cos42α - 2cos22α+1)4cos42α = (cos22α - 1)2cos42α = sin42α cos42α = tg⁴2α = П. ч. Тотожність доведена.