§ 25: 25.18 (1-4)

25.18 Доведіть тотожність:

1) 1 + 2cos2α + cos²2α – sin²2α = (1 – sin²2α) + 2cos2α + cos²2α = соs²2α + cos²2α+ 2соs2α = 2 cos²2α+ 2соs2α = 2cos2α

(1 + соs2α) = 2соs2α • 2cos²α = 4cos²αcos2α;

2) 1+ sin2α - (cos2α - sin2α)1 + sin2α + (cos2α - sin2α) = 2sin2α + 2sinαcosα2cos2α + 2sinαcosα = 2sinα(sinα + cosα)2cosα(sinα + cosα) = sinαcosα = tgα;

3) sin2α - 4(1 - sin2α)1 - 8sin2α - cos22α + sin2α = sin22α - 4cos2α2sin22α - 8sin2α = 4sin2α cos2α - 4cos2α8sin2α cos2α - 8sin2α = 4cos2α(sin2α - 1)8sin2α(cos2α - 1) = 4cos2α • (-cos2α)8sin2α • (-sin2α) = cos4α2sin4α = 12 ctg⁴α;

4) cosπ2 - 4αcos2α2cos2α • 2cos22α = sin4αcos2α4cos2α cos22α = 2sin2αcos2αcos2α4cos2α cos22α= 4sinα cosα4cos2α = sinαcosα = tgα;

5) 2cos22αcosαsinα - sinαcosα = 2cos22α1 : cos2α - sin2αsinα cosα = 2cos22α • sinα cosαcos2α = 2cos2αsin2α2 = 12sin4α;

6) 2cos2α-sin4α2cos2α+sin4α = tg²(45° – α).

Л. ч. = 2cos2α - sin4α2cos2α + sin4α = 2cos2α - 2sin2α • cos2α2cos2α + 2sin2α • cos2α = 2cos2α(1 - sin2α)2cos2α(1 + sin2α) = 1 - sin2α1 + sin2α = (1 – 2tgα1 + tg2α) : (1 + 2tgα1+ tg2α) = 1 + tg2α - 2tgα1 + tg2α : 1 + tg2α + 2tgα1 + tg2α = (1 - tgα )21 + tg2α • 1 + tg2α(1 + tgα )2 = (1 - tgα )2(1 + tgα )2 = (tg45° - tgα1 + tg45° tgα)² = (tg(45° – α))² = tg²(45° – α) = П. ч.

Тотожність доведена.