§ 23: 23.34

23.34 Доведіть, що коли α, β, γ – кути непрямокутного трикутника, то tgα + tgβ + tgγ = tgαtgβtgγ.

Якщо кути трикутника α, β і γ, то γ = 180° – (α + β).

tgα + tgβ + tgγ = sinαcosα + sinβcosβ + sinγcosγ = sinα cosβ+ cosα sin βcosα cosβ⁡ + sinγcosγ = sin(α+ β)cosα cosβ⁡ + sin(180°-α+ β)cos(180°-α+ β)⁡= sinα+ βcos α cos β⁡+ sin(α+ β)-cos(α+ β)⁡= sin(α + β)( 1cosα cosβ – 1cos(α+ β)) = sin(α + β) • cosα+ β- cos α cos βcosα cosβ cos(α+ β) = sin(α+ β)cos(α+ β)⁡• cos α cos β- sin α sin β- cos α cos βcos α cos β⁡= tg(α + β) • -sin α sin βcosα cosβ⁡= –tg(180° – (α + β)) • (–tgαtg β) = tgγ • tgα • tgβ, що й треба було довести.