§ 23: 23.36

23.36 Доведіть нерівність sin(α + β) < cosα + cosβ, де

0 < α < π2, 0 < β < π2.

sin(α + β) – cosα – cosβ = sinα cosβ + cosα sinβ – cosα – cos β = cosβ (sinα – 1) + cosα (sinβ – 1). Оскільки 0 < α < π2,

0 < β < π2, то 0 < sinα < 1, 0 < sinβ < 1. Тоді sinα – 1 < 0, cosβ > 0, cosα > 0, sin(β – 1) < 0. Отже, cosβ(sinα – 1) + cosα(sinβ – 1) < 0. Маємо: sin(α + β) – cosα – cosβ < 0, отже, sin(α + β) < cos α + cosβ, що й треба було довести.