Вправи для повторення розділу 3: 54

54. Знайдіть косинус кута між векторами якщо.

$\bar{a}\bar{b}$ = (2$\bar{p}$ + $\bar{q}$)($\bar{q}$ – 2$\bar{p}$) = 2$\bar{p}\bar{q}$ – 4$\bar{p}$² + $\bar{q}$² – 2$\bar{p}\bar{q}$ = $\bar{q}$² – 4$\bar{p}$² = |$\bar{q}$|² – 4|$\bar{p}$|² = 1² – 4 • 1² = –3.

|$\bar{a}$| = $\sqrt{{\bar{a}}^2}$ = $\sqrt{{(2\bar{p}+\bar{q})}^2}$ = $\sqrt{{4\bar{p}}^2+{4\bar{p}\bar{q}+\bar{q}}^2}$ = $\sqrt{{4\left|\bar{p}\right|}^2+{\left|\bar{q}\right|}^2}$ ($\bar{p}\bar{q}$ = 0),

|$\bar{a}$| = $\sqrt{4•1+1}$ = $\sqrt{5}$.

|$\bar{b}$| = $\sqrt{{(\bar{q}-2\bar{p})}^2}$ = $\sqrt{{\bar{p}}^2-{4\bar{p}\bar{q}+4\bar{q}}^2}$ = $\sqrt{{\left|\bar{p}\right|}^2+{4\left|\bar{q}\right|}^2}$ = $\sqrt{1+4•1}$ = $\sqrt{5}$.

cos$\angle$($\bar{a}$, $\bar{b}$) = $\frac{\bar{a}\bar{b}}{\left|\bar{a}\right|•\left|\bar{b}\right|}$ = $\frac{-3}{\sqrt{5}•\sqrt{5}}$ = –$\frac{3}{5}$.

Відповідь: –$\frac{3}{5}$.