Відповіді до § 6 - 12: 6.21

6.21. Доведіть, що:

1) Спростимо вираз в лівій частині нерівності: х³ – Зх² + х – 3 = х²(х – 3) + (x –3) = (x – 3)(x² + 1).

х² + 1 > 0 для будь–яких значення х.

х – 3 ≥ 0, якщо x ≥ 3. Отже, x³ – Зх² + х – 3 ≥ 0, якщо х ≥ 3, що й треба було довести.

2) Знайдемо різницю лівої і правої частини нерівності:

$\frac{3}{a+3}$ – $\frac{1}{a+1}$ = $\frac{3(a+1)-1(a+3)}{(a+3)(a+1)}$ = $\frac{3a+3-a-3}{(a+3)(a+1)}$ = $\frac{2a}{(a+3)(a+1)}$.

Якщо а – додатне число, то 2a > 0, (a + 3) > 0, (a + 1) > 0. Отже,

$\frac{2a}{(a+3)(a+1)}$ > 0 і справджується нерівність $\frac{3}{a+3}$ > $\frac{1}{a+1}$, що й треба було довести.