Відповіді до § 6 - 12: 6.22

6.22. Доведіть, що:

1) Спростимо вираз в лівої частині нерівності: m³ + m² + 5m + 5 = m²(m + 1) + 5 (m + 1) = (m² + 5)(m + 1).

m² + 5 > 0 для будь–яких значень m.

m + 1 ≥ 0, якщо m ≥ –1. Отже, m³ + m² + 5m + 5 ≥ 0, якщо m ≥ –1, що й треба було довести.

2) Знайдемо різницю лівої і правої частини нерівності:

$\frac{p}{p+7}$ – $\frac{p+1}{p+8}$ = $\frac{p(p+8)-(p+7)(p+14)}{(p+7)(p+8)}$ = $\frac{p^2+8p-p^2-p-7p-7}{(p+7)(p+8)}$ = $\frac{-7}{(p+7)(p+8)}$.

Якщо р — додатне число, то р + 7 > 0, р + 8 > 0.

Отже – $\frac{7}{(p+7)(p+8)}$ < 0 і справджується нерівність $\frac{p}{p+7}$ < $\frac{p+1}{p+8}$, що й треба було довести.