Відповіді до § 6 - 12: 6.16

6.16. Порівняйте числа:

1) Звільнимося від ірраціональності в знаменнику дробу:

$\frac{1}{\sqrt{5}+2}$ = $\frac{1•(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}$ = $\frac{\sqrt{5}-2}{5-4}$ = $\sqrt{5}$ – 2.

Знайдемо різницю чисел $\sqrt{5}$ – 2 та $\sqrt{5}$ – 2.

$\sqrt{5}$ – 2 – $\sqrt{5}$ + 2 = 0, отже, $\sqrt{5}$ – 2 = $\frac{1}{\sqrt{5}+2}$.

2) Звільнимося від ірраціональності в знаменнику дробу:

$\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$ = $\frac{1•(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3})}$ = $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{7-3}$ = $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{7-3}$ = $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{4}$.

Знайдемо різницю чисел.

$\sqrt{7}$ + $\sqrt{3}$ – $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{4}$ = $\frac{3}{4}$($\sqrt{7}$ + $\sqrt{3}$) > 0, отже, $\sqrt{7}$ + $\sqrt{3}$ > $\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$.

Відповідь: 1) $\sqrt{5}$ – 2 = $\frac{1}{\sqrt{5}+2}$; 2) $\sqrt{7}$ + $\sqrt{3}$ > $\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$.