Відповіді до § 22 - 25: 23.31

23.31. У прямокутному трикутнику довжина гіпотенузи дорівнює с, а градусна міра одного з гострих кутів – $\alpha$. Знайдіть довжину бісектриси трикутника, що виходить з вершини прямого кута.

У ∆ABC $\angle$C = 90°, AB = c, $\angle$B = $\alpha$. CD — бісектриса, $\angle$ACD = $\angle$DCB = 45°.

У ∆CDB $\angle$CDB = 180° – ($\alpha$ + 45°).

З ∆ABC $\angle$A = 90° – $\angle$B = 90° – $\alpha$.

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{sinC}}$ = $\frac{\mathrm{BC}}{\sin (90°-\alpha )}$; BC = $\frac{c\sin (90°-\alpha )}{\sin 90°}$= c cos $\alpha$. 3 ∆CBD $\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{sinB}}$ = $\frac{\mathrm{BC}}{\sin (180°-(\alpha +45°))}$;

CD = $\frac{\mathrm{BC}\sin B}{s\mathrm{in}(\alpha +45°)}$ = $\frac{c\cos \alpha \sin \alpha }{\sin (\alpha +45°)}$.

Відповідь: $\frac{c\cos \alpha \sin \alpha }{\sin (\alpha +45°)}$.