Відповіді до § 22 - 25: 23.30

23.30. У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює m, а кут при основі – $\alpha$. Знайдіть довжину бісектриси кута при основі.

У ∆ABC AB = BC, AC = m, $\angle$A = $\angle$C = $\alpha$, АР — бісектриса. Тоді $\angle$BAP = $\angle$PAC = $\frac{\alpha }{2}$.

У ∆APC $\angle$APC = 180° – ($\angle$PAC + $\angle$PCA) = 1

= 80° – ($\frac{\alpha }{2}$ + $\alpha$) = 180° – $\frac{3\alpha }{2}$.

За теоремою синусів $\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{sinAPC}}$ = $\frac{\mathrm{AP}}{\sin \mathrm{PCA}}$;

AP = $\frac{\mathrm{ACsin}\alpha }{\sin (180°-\frac{3\alpha }{2})}$; AP = $\frac{m\sin \alpha }{\sin \frac{3\alpha }{2}}$.

Відповідь: $\frac{m\sin \alpha }{\sin \frac{3\alpha }{2}}$.