Відповіді до § 22 - 25: 22.39

22.39. У трикутнику ABC AB = 8 см, BC = 10 см, AC = 12 см. На сторонах AB і AC узято такі точки M і N відповідно, що AM = 3 см,

AN = 5 см. Знайдіть довжину відрізка MN.

У ∆ABC АВ = 8 см, АС = 12 см, ВС = 10 см, cos A = $\frac{{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2-{\mathrm{BC}}^2}{2•\mathrm{AB}•\mathrm{AC}}$ = $\frac{8^2+{12}^2-{10}^2}{2•8•12}$ = $\frac{64+144-100}{192}$ = $\frac{108}{192}$ = $\frac{27}{48}$.

З ∆AMN MN² + AM² + AN² – 2AM • AN • cos A = 3² + 5² – 2 • 3 • 5 • $\frac{27}{48}$ = 9 + 25 – $\frac{30•27}{48}$ = 34 – $\frac{270}{16}$ = $\frac{274}{16}$; MN = $\sqrt{\frac{274}{16}}$ = $\frac{\sqrt{274}}{4}$ (см).

Відповідь: $\frac{\sqrt{274}}{4}$см.