Відповіді до § 6 - 12: 12.34

12.34. За яких значень а обидва корені рівняння x² – (а + 1)х – (а + 2а²) = 0 менші від числа 1?

x² – (а + 1)x – (а + 2а²) = 0. Знайдемо дискримінант: D = (а + 1)² + 4(a + 2а²) = а² + 2а + 1 + 4а + 8² = 9а² + 6а + 1 = (За + 1)².

x₁ = $\frac{a+1+\sqrt{D}}{2}$ = $\frac{a+1+3a+1}{2}$ = 2a + 1;

x₂ = $\frac{a+1-\sqrt{D}}{2}$ = $\frac{a+1-3a-1}{2}$ = –a.

За умовою маємо: 2a + 1 < 1, 2a < 0,

–a < 1; a > –1.

Отже, –1 < а < 0.

При –1 < a < 0 рівняння має обидва корені менші від числа 1.