Відповіді до вправ підручника: 14.55

14.55. Доведіть, що площа правильного шестикутника, вписаного

в коло, становить $\frac{3}{4}$ площі правильного шестикутника, описаного навколо цього кола.

АВ = а₆ — сторона правильного шестикутника. а₆ = R — радіус описаного кола. ОК ⊥ АВ; ОК = r — радіус вписаного кола.

∆OAK: r² = R² – $\frac{R^2}{4}$ = $\frac{{3R}^2}{2}$;

S_{впис.шест.} = $\frac{{3a}^2\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{{3R}^2\sqrt{3}}{2}$;

S_{опис.шест.} = $\frac{{3•3R}^2\sqrt{3}}{2•4}$; $\frac{S_{\mathrm{вп}.}}{S_{\mathrm{оп}.}}$ = $\frac{3}{4}$.

Відповідь: $\frac{3}{4}$.