Вправи для повторення розділу 6: 12

12. Із точки до площини проведено дві похилі, довжини яких відносяться як 3 : 4. Знайдіть довжини похилих та відстань від точки до площини, якщо проєкції похилих дорівнюють 9 см і 16 см.

Дано: АН $\perp$ $\alpha$; АВ : АС = 3 : 4;

ВН = 9 см; НС = 16 см.

Знайти: АВ, АС, АН.

Розв’язання

Нехай АВ = 3х, АС = 4х.

$∆$АНВ ($\angle$Н = 90$°$): AB² = AH² + BH²;

(3x)² = AH² + 9²; 9x² = AH² + 81.

$∆$AHC ($\angle$H = 90$°$): AC² = AH² + 16²;

(4x)² = AH² + 16²;

16x² = AH² + 256;

_ 16x² = AH² + 256;

9x² = AH² + 81;

7x² = 175; x² = 25; x = 5.

AB = 3 • 5 = 15 (см); АС = 4 • 5 = 20 (см);

АН² = АВ² – ВН² = 15² – 9² = 225 – 81 = 144; АН = 12 см.

Відповідь: 15 см; 20 см; 12 см.