Відповіді на вправи § 6 - 10: 9.37

9.37. До катетів прямокутного трикутника провели медіани

завдовжки 3 см і 4 см. Знайдіть гіпотенузу трикутника.

Нехай ВС = а; АС = b; ВМ = 4 см; АК = З см. Тоді з ∆ВСМ:

а² + ($\frac{1}{2}$b)² = 4², а з ∆АСК: ($\frac{1}{2}$а)² + b² = 3².

Маємо систему рівнянь:

a² + $\frac{b^2}{4}$ = 16, a² + $\frac{b^2}{4}$ = 16, a² = 16 – $\frac{b^2}{4}$, a² = $\frac{220}{15}$,

$\frac{a^2}{4}$ + b² = 9; (–4); –a² – 4b² = –36; $\frac{{-15b}^2}{4}$ = –20; b² = $\frac{80}{15}$.

АВ² = а² + b² = $\frac{220}{15}$ + $\frac{80}{15}$ = $\frac{300}{15}$ = 20.

АВ = $\sqrt{20}$ = 2$\sqrt{5}$ (см) — гіпотенуза ∆АВС.