Відповіді на вправи § 6 - 10: 8.26

8.26. (Національна олімпіада Швеції, 1982 р.) Доведіть, що коли для

деякої точки O, яка лежить у внутрішній області чотирикутника ABCD, площі трикутників ABO, BCO, CDO і DAO рівні між собою, то ця точка належить хоча б одній з діагоналей AC або BD.

Дано: ABCD – чотирикутник;

т. О лежить у внутрішній області;

S_ABO = S_BCO = S_CDO = S_DAO.

Довести: О $\in$ АС або O $\in$ BD.

Доведення

Нехай S_ABO = S_BCO = S_CDO = S_DAO = S, тоді S_ABCD = S_ABO + S_BCO + S_CDO + S_DAO = 4S.

Якщо точка О лежить на діагоналі АС, то S_ABCD = S_ABC + S_ADC = S_ABO + S_BCO + S_CDO + S_DAO = 2S + 2S = 4S.

$∆$ABC i $∆$ADC мають мр=пільну основу АС, тоді їх висоти рівні, тому т. О $\in$ АС.

Аналогічно доводиться, що т. О $\in$ BD.