Відповіді на вправи § 6 - 10: 6.31

6.31. Якого найменшого значення може набувати вираз? При яких значеннях х і y досягається це значення?

$\sqrt{x^2+{(y-3)}^2}$ + $\sqrt{{(x-4)}^2+y^2}$.

$\sqrt{x^2+{(y-3)}^2}$ — радіус R₁ кола з центром O₁(0 ; 23).

$\sqrt{{(x-4)}^2+y^2}$ — радіус R₂ кола з центром O₂(4; 0).

Найменшого значення R₁ + R₂ буде набувати, коли кола дотикаються, тобто R₁ + R₂ = O₁O₂ = $\sqrt{{(4-0)}^2+{(0-3)}^2}$ = 5.

Отже, найменше значення, яке набуває вираз, дорівнює.

Точка дотику належить відрізку O₁O₂.

Рівняння прямої, що містить O₁O₂: $\frac{x-0}{4-0}$ = $\frac{y-3}{0-3}$; –3x = 4у – 12;

4y = –Зx + 12; y = –$\frac{3}{4}$x + 3, х $\in$ [0; 4].