Відповіді на вправи § 1 - 5: 5.36

5.36. Доведіть, що прямі у = k₁x + l₁ і у = k₂x + l₂ взаємно перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли k₁k₂ = –1 (умова перпендикулярності прямих).

Нехай пряма у = k₁x + l₁ і пряма y = k₂х + l₂ перпендикулярні. Тоді k₁ = tg $\alpha$ ($\alpha$ — кут між прямою y = k₁x + l₁ і додатнім напрямком осі x), a k₂ = tg(90° – $\alpha$).

k₁ • k₂ = tg $\alpha$ • tg(90° + $\alpha$) = $\frac{\sin \alpha }{\mathrm{cis}\alpha }$ • $\frac{\sin (90°+\alpha )}{\cos (90°+\alpha )}$= $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ • $\frac{\cos \alpha }{-\sin \alpha }$ = –1.