Відповіді на вправи § 25 - 33: 29.18

29.18. Із точки A до кола, радіус якого 35 см, проведено дві дотичні

AB і AC, BC = 56 см. Знайдіть AB. Знайдіть кілька способів

розв’язування задачі.

Дано: коло; R = 35 см;

АВ і АС – дотичні; ВС = 56 см.

Знайти: АВ.

Розв’язання

І спосіб.

АО Х ВС = М.

АВ і АС – дотичні, тоді АВ = АС, АО – бісектриса $\angle$ВАС, АО $\perp$ ВС.

OB = OC = R, тому $∆$ВОС – рівнобедрений.

Висота ОМ, також є медіаною. ВМ = $\frac{1}{2}$ВС = $\frac{1}{2}$ • 56 = 28 (см).

$∆$ОМВ ($\angle$М = 90$°$):

OM = $\sqrt{{\mathrm{OB}}^2-{\mathrm{BM}}^2}$ = $\sqrt{{35}^2-{28}^2}$ = $\sqrt{1225-784}$ = $\sqrt{441}$ = 21 (см)

tg $\angle$BOM = $\frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{OM}}$ = $\frac{28}{21}$ = $\frac{4}{3}$.

$∆$ABO ($\angle$B = 90$°$): tg $\angle$AOB = $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{OB}}$.

AB = OB • tg $\angle$AOB = 35 • $\frac{4}{3}$ = $\frac{140}{3}$ = 46$\frac{2}{3}$ (см).

ІІ спосіб.

За метричними співвідношеннями у $∆$АВО: BM² = OM • AM.

AM = $\frac{{\mathrm{BM}}^2}{\mathrm{OM}}$ = $\frac{{28}^2}{21}$ = $\frac{784}{21}$ = $\frac{112}{3}$.

$∆$AMB ($\angle$M = 90$°$):

AB = $\sqrt{{\mathrm{BM}}^2+{\mathrm{AM}}^2}$ = $\sqrt{{28}^2+{\left(\frac{112}{3}\right)}^2}$ = $\sqrt{784+\frac{12544}{9}}$ = $\sqrt{\frac{7056+12544}{9}}$ = $\sqrt{\frac{19600}{9}}$= $\frac{140}{3}$ = 46$\frac{2}{3}$ (см).

Відповідь: 46$\frac{2}{3}$ см.