Відповіді на вправи § 25 - 33: 26.22

26.22. Один з кутів трикутника дорівнює 120°, а його сторони утворюють арифметичну прогресію. Знайдіть відношення сторін три–

кутника.

Дано: $∆$АВС; $\angle$В = 120$°$; АВ, ВС, АС утворюють арифметичну прогресію.

Знайти: АВ : ВС : АС.

Розв’язання

Нехай d – різниця арифметичної прогресії, тоді AB = a – d, BC = a, AC = a + d.

За теоремою косинусів:

AC² = AB² + BC² – 2 • AB • BC • cos B;

(a + d)² = (a – d)² + a² – 2a(a – d) • cos 120$°$;

(a + d)² = (a – d)² + a² – 2a(a – d) • (–$\frac{1}{2}$) ;

(a + d)² = (a – d)² + a² + a(a – d) ;

a² + 2ad + d² = a² – 2ad + d² + a² + a² – ad;

5ad = 2a² |: 5a.

d = $\frac{2a}{5}$;

AB = a – d = a – $\frac{2a}{5}$ = $\frac{3a}{5}$;

BC = a = $\frac{5a}{5}$;

AC = a + d = a + $\frac{2a}{5}$ = $\frac{7a}{5}$.

Отже, AB : BC : AC = 3 : 5 : 7.

Відповідь: 3 : 5 : 7.