Відповіді на вправи § 25 - 33: 26.20

26.20. Кут, утворений медіаною і висотою, проведеними з вершини

прямого кута прямокутного трикутника, дорівнює $\alpha$. Знайдіть

катети трикутника, якщо його гіпотенуза дорівнює с.

Дано: $∆$АВС ($\angle$С = 90$°$); СМ – медіана;

СН – висота; $\angle$МСН = $\alpha$; АВ = с.

Знайти: АС, ВС.

Розв1язання

За властивістю прямокутного трикутника:

CM = $\frac{1}{2}$ AB = $\frac{c}{2}$.

CM = AC, тоді $∆$AMC – рівнобедрений, $\angle$АСМ = $\angle$А.

$∆$АНС ($\angle$Н = 90$°$): $\angle$АСН = 90$°$ – $\angle$А.

$\alpha$ = $\angle$ACM – $\angle$ACH = $\angle$A – (90$°$ – $\angle$A) = $\angle$A – 90$°$ + $\angle$A = 2 $\angle$A – 90$°$.

2 $\angle$A – 90$°$ = $\alpha$.

2 $\angle$A = 90$°$ + $\alpha$ |: 2;

$\angle$A = 45$°$ + $\frac{\alpha }{2}$;

$\angle$B = 90$°$ – $\angle$A = 90$°$ – (45$°$ + $\frac{\alpha }{2}$) = 90$°$ – 45$°$ – $\frac{\alpha }{2}$ = 45$°$ – $\frac{\alpha }{2}$.

$∆$ABC ($\angle$C = 90$°$):

cos A = $\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}$; AC = AB • cos A = c • cos (45$°$ + $\frac{\alpha }{2}$) ;

sin A = $\frac{BC}{\mathrm{AB}}$; BC = AB • sin A = c • sin (45$°$ + $\frac{\alpha }{2}$) ;

Відповідь: c • cos (45$°$ + $\frac{\alpha }{2}$); c • sin (45$°$ + $\frac{\alpha }{2}$).