Відповіді на вправи § 18 - 24: 22.24

22.24. Кожне з трьох рівних між собою кіл радіуса r дотикається

до двох інших. Знайдіть площу трикутника, утвореного спільними дотичними до цих кіл.

∆АВС — рівносторонній. У ∆АОК: ОК = r, ОK ⊥ АС як радіус, проведений у точку дотику. АО — бісектриса кута А за властивістю

дотичних, проведених до кола з однієї точки.

Тоді ∠ОАК = $\frac{1}{2}$∠А = $\frac{1}{2}$• 60° = 30°.

OK = $\frac{1}{2}$ AO як катет, що лежить проти кута 30°, звідки АО = 2OК = 2r.

З ∆АОК: АК = $\sqrt{{\mathrm{AO}}^2-{\mathrm{OK}}^2}$ = $\sqrt{{\left(2r\right)}^2-r^2}$ = $\sqrt{{4r}^2-r^2}$ = $\sqrt{{3r}^2}$ = r$\sqrt{3}$.

АС = AK + KL + LC = r$\sqrt{3}$ + 2r + r$\sqrt{3}$ = 2r$\sqrt{3}$ + 2r = ($\sqrt{3}$ + 1).

S_∆ABC = $\frac{{\mathrm{AC}}^2\sqrt{3}}{4}$ = $\frac{{\left(2r(\sqrt{3}+1)\right)}^2\sqrt{3}}{1}$ = $\frac{{4r}^2(3+2\sqrt{3}+1)\sqrt{3}}{4}$ = r²$\sqrt{3}$(4 + 2$\sqrt{3}$) = 2$\sqrt{3}$r²(2 + $\sqrt{3}$) = 2r²(2 + $\sqrt{3}$).