Відповіді на вправи § 18 - 24: 21.25

21.25. Бісектриса кута A трикутника ABC перетинає описане навколо нього коло в точці D. Знайдіть довжини хорд DC і DB, якщо DI = І, де I – центр кола, вписаного у трикутник.

Центр вписаного кола І — точка перетину бісектрис ∆ABC. Отже, ВІ — бісектриса кута ABC, СІ — бісектриса кута АСВ. Нехай ∠A = α, ∠B = β.

Тоді ∠BID = ∠ABI + ∠BAI = $\frac{\alpha }{2}$ + $\frac{\beta }{2}$ (як зовнішній).

∠IBD = ∠IBK + ∠KBD = ∠IBK + ∠DAC = $\frac{\alpha }{2}$ + $\frac{\beta }{2}$.

(∠BDC = 180° = ∠BAC = 180° – α. BD = DC як хорди, що стягують рівні дуги, тоді ∠CBD = ∠BCD = $\frac{180°-\angle \mathrm{BDC}}{2}$ = $\frac{180°-(180-\alpha )}{2}$ = $\frac{\alpha }{2}$.)