Відповіді на вправи § 15 - 17: 15.40

15.40. Периметр трапеції дорівнює 108 см, а точка дотику вписаного в неї кола ділить бічну сторону на відрізки завдовжки 4 см і 16 см. Знайдіть площу трапеції.

АВСD — трапеція (ВС $\parallel$ АD), в яку вписано коло. М, К, N — точки дотику. ОМ = ОК = ON — радіуси кола, ОМ $\perp$ ВС, ОК $\perp$ СD, ОN $\perp$ АD. МN — висота трапеції. СК = 4 см, КВ = 16 см.

За властивістю дотичних СМ = СК = 4 см, ND = КD = 16 см. Проведемо СН $\perp$ АD, тоді СН = МN — висота трапеції.

У ∆СНD СD = 4 + 16 = 20 (см). НD = ND – NH = 16 – 4 = 12 (см)

(NМСН — прямокутник).

СН = $\sqrt{{\mathrm{CD}}^2-{\mathrm{HD}}^2}$ = $\sqrt{{20}^2-{12}^2}$ = $\sqrt{(20-12)(20+12)}$ = $\sqrt{8•32}$ = 16 (см).

Оскільки в трапецію вписано коло, то сума її бічних, сторін дорівнює

сумі основ і дорівнює половині периметра.

Тоді ВС + АD = $\frac{108}{2}$ = 54 (см).

S_ABCD = $\frac{\mathrm{BC}+\mathrm{AD}}{2}$ • СH = $\frac{54}{2}$ • 16 = 432 (см²).

Відповідь: 432 см².