Відповіді на вправи § 15 - 17: 15.43

15.43. Відстані від точки перетину медіан до вершин гострих кутів прямокутного трикутника дорівнюють 6$\sqrt{73}$ і 12$\sqrt{13}$ см. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника.

У ∆АВС $\angle$С = 90°, AN, ВМ, СР — медіани.

АО = 6$\sqrt{73}$ см, ОВ = 12$\sqrt{13}$ см, де О — точка перетину медіан. За властивістю медіан АО = $\frac{2}{3}$АN, тоді АN = АО • $\frac{3}{2}$ = 6$\sqrt{73}$ • $\frac{3}{2}$ = 9$\sqrt{73}$ (см). Аналогічно, ВМ = $\frac{3}{2}$ ВО = $\frac{3}{2}$ • 12$\sqrt{13}$ = 18$\sqrt{13}$ (см). Тоді з трикутників АСN і ВСМ маємо:

АN² = АС² + СN², (9$\sqrt{73}$)² = AC² + $\frac{1}{4}$BC², + 5913 = AC² + $\frac{1}{4}$BC²,

ВМ² = СМ² + ВС²; (18$\sqrt{13}$)² = $\frac{1}{4}$AC² + BC²; 4212 = $\frac{1}{4}$AC² + BC²;

10125 = $\frac{5}{4}$ (АС² + ВС²); 10125 = $\frac{5}{4}$АВ²; АВ² = 8100; АВ = 90 (АВ > 0).

Оскільки центр описаного кола навколо прямокутного трикутника лежить на середині гіпотенузи, то R = $\frac{1}{2}$ АВ = $\frac{1}{2}$ • 90 = 45 (см).

Відповідь: 45 см.