Відповіді на вправи § 11 - 14: 13.29

13.29. У трикутнику ABC ∠C = 120°, H – ортоцентр трикутника, O –

центр описаного кола. Точка M – середина дуги ACB. Доведіть, що HM = MO.

Дано: $∆$АВС; $\angle$С = 120$°$; О – центр описаного кола; Н – точка перетину висот; М – середина $\cup$АСВ.

Довести: НМ = МО

Доведення

М $\in$ колу, тому МО = R.

Для будь–якого трикутника:

OH² = R²(1 – 8 cos A cos B cos C) = R²(1 – 8 cos A cos B • cos 120$°$) = R²(1 – 8 cos A cos B • (–$\frac{1}{2}$)) = R²(1 + 4 cos A cos B) = R²(1 + 2(cos(A + B) + cos (A – B)) = R²(1 + 2 cos 60$°$ + 2 cos (A – B)) = R²(1 + 2 • $\frac{1}{2}$ + 2 cos (A – B)) = R²(1 + 1 + 2 cos(A – B)) = R²(2 + 2 cos (A – B)) = 4R² cos² $\frac{A-B}{2}$;

OH = 2R cos $\frac{A-B}{2}$.

M – cередина $\cup$АСВ, тоді $\angle$АОМ = $\angle$МОВ.

Отже, ОМ – бісектриса $\angle$АОВ;

$\angle$МОН = $\frac{|A-B|}{2}$

За теоремою косинусів з $∆$НОМ:

HM² = OH² + OM² – 2 • OH • OM • cos $\frac{A-B}{2}$ = 4R² cos² $\frac{A-B}{2}$ + R² – 2 • 2R cos $\frac{A-B}{2}$ • R • cos $\frac{A-B}{2}$ = 4R² cos² $\frac{A-B}{20}$ + R² – 4R² cos² $\frac{A-B}{2}$ = R².

HM = $\sqrt{R^2}$ = R.

MO = R, HM = R $\Rightarrow$ HM = MO.