Вправи: 995

995. Кожне з трьох рівних між собою кіл радіуса r дотикається

до двох інших. Знайдіть площу трикутника, утвореного спільними дотичними до цих кіл.

∆АВС — рівносторонній. У ∆АОК ОК = r, ОK ⊥ АС як радіус, проведений у точку дотику. АО — бісектриса кута А за властивістю

дотичних, проведених до кола з однієї точки.

Тоді ∠ОАК = 12 ∠А = 12• 60° = 30°.

OK = 12 AO як катет, що лежить проти кута 30°, звідки АО = 2OК = 2r.

З ∆АОК АК = AO2- OK2 = (2r)2-r2 =

= 4r2-r2 = 3r2 = r3.

АС = AK + KL + LC = r3 + 2r + r3 = 2r3 + 2r = (3 + 1).

S_∆ABC = AC234 = (2r3+1)231 = 4r2(3+23+1)34 = r²3(4 +

+ 23) = 23r²(2 + 3) = 2r²(2 + 3).