Вправи: 268

268. Три вершини прямокутника знаходяться в точках (0; 4),

(8; 4) і (8; –2). У яких точках коло (х – 3)² + (у – 1)² = 25 перетинає сторони прямокутника?

Вершини прямокутника (0; 4), (8; 4), (8; –2), четверта вершина має координату (0; –2 ). Оскільки дві вершини (0; 4) і (8; 4) мають однакову ординату, то рівняння прямої, яка проходить через цю сторону, задається рівнянням у = 4.

Аналогічно: інші сторони задаються рівняннями: х = 0; х = 8; у = –2.

Знайдемо точки перетину:

1) прямої у = 4 і даного кола, (х – З)² + (4 – 1)² = 25; (х – З)² = 16;

х – 3 = 4 або х – 3 = –4; х = 7 або х = –1. (7; 4) — точка перетину;

(–1; 4) — лежить на прямій у = 4, але не належить стороні прямокутника;

2) прямої у = –2 і даного кола, (х – З)² + (–2 – 1)² = 25; (х – З)² = 16; х – 3 = 4 або х – 3 = –4; х = 7 або х = –1; точка (–1; –2) не належить стороні прямокутника; (7; –2) — точка перетину;

3) прямої х = 0 і даного кола. (0 – З)² + (у – 1)² = 25; (у – 1)² = 16;

у – 1 = 4 або у – 1 = –4; у = 5 або y = –5; (0; 5) і (0; –3) — не належать стороні прямокутника;

4) прямої у = 8 і даного кола. (8 – З)² + (у – 1)² = 25; у – 1 = 0;

у – 1; (8; 1) — точка перетину.

Отже, коло перетинає сторони прямокутника в точках (7; 4), (7; –2), (8; 1).