Вправи: 1103

1103. Вершини трикутника ABC мають координати A(0; 4), B(3; 0), С(3; 4). Після паралельного перенесення центр вписаного у трикутник кола перейшов у початок координат. У яку точку перейшов центр кола, описаного навколо трикутника?

AB = (3-0)2+ (0-4)2 = 32+ 42 = 9+16 = 25 = 5.

BC = (3-3)2+ (4-0)2 = 02+ 42 = 4.

AC = (3-0)2+ (4-4)2 = 32+ 02 = 3.

Оскільки 5² = 4² + З², тобто АВ² = ВС² + АС², то ∆АВС – прямокутний.

Знайдемо радіус вписаного кола з формули S = рr, r = Sp.

S_∆ABC = 12АС • ВС = 12 • 4 • 3 = 6; p = 5+4+32 = 6. Отже, r = 66 = 1.

Оскільки катети трикутника паралельні осям координат, тобто лежать на прямих у = 4 і х = 3, а радіуси вписаного кола, проведені в точку дотику, перпендикулярні катетам, і r = 1, то центр вписаного кола лежить на перетині прямих у = 4 – 1, у = 3 та x = 3 – 1, х = 2. Тоді O₁(2; 3). При паралельному перенесенні ця точка за умовою переходить в початок координат. 0 = 2 + а, а = –2; 0 = 3 + b,

b = –3. Формули паралельного перенесення: х' = х – 2, у' = у – 3. Центр описаного кола — це середина гіпотенузи АВ.

Його координати: 0+32 = 1,5; 4+02 = 2, О₂(1,5; 2). При даному паралельному перенесенні він перейде в точку з координатами

x’ = 1,5 – 2 = –0,5; y’ = 2 – 3 = –1.

Відповідь: (–0,5; –1).