Відповіді на вправи підручника: 257 (1)

257. У коло х² + y² = 16 вписано рівносторонній трикутник. Знайдіть координати його вершин, якщо одна з них лежить у точці:

1) (0; 4); 2) (–4; 0).

1) Дано: х² + у² = 16 – коло, описане навколо правильного ∆–ка;

(0; 4) – координата вершини.

Знайти: координати вершин ∆–ка.

Розв’язання

З рівняння кола: R = 4.

Сторона правильного ∆–ка, вписаного в коло: a = R$\sqrt{3}$ = 4$\sqrt{3}$.

Вершини ∆–ка задовольняють рівнянням:

R² = (x – 0)² + (y – 0)² = x² + y²;

a² = (x – 0)² + (y + 4)² = x² + (y – 4)².

Маємо систему рівнянь:

x² + y² = 4²;

x² + y² – 8y + 16 = (4$\sqrt{3}$)²;

x² + y² = 16;

16 – 8y + 16 = 48;

–8y = 16; y = –2.

x² = 16 – (–2)² = 12;

x = –$\sqrt{12}$ = –2$\sqrt{3}$;

x = $\sqrt{12}$ = 2$\sqrt{3}$;

y = –2; y = –2;

x = –2$\sqrt{3}$; x = 2$\sqrt{3}$;

Відповідь: (–2$\sqrt{3}$; –2), (2$\sqrt{3}$; –2).

2) Дано: х² + у² = 16 – коло, описане навколо правильного ∆–ка;

(–4; 0) – координата вершини.

Знайти: координати вершин ∆–ка.

Розв’язання

З рівняння кола: R = 4.

Сторона правильного ∆–ка, вписаного в коло: а = R$\sqrt{3}$ = 4$\sqrt{3}$.

Вершини ∆–ка задовольняють рівнянням:

R² = (x – 0)² + (y – 0)² = x² + y²;

a² = (x + 4)² + (y – 0)² = (x + 4)² + y².

Маємо систему рівнянь:

x² + y² = 4²;

x² + 8x + 16 + y² = (4$\sqrt{3}$)²;

x² + y² = 16;

16 + 8x + 16 = 48;

8x = 16; x = 2.

y² = 16 – 2² = 12;

y = –$\sqrt{12}$ = –2$\sqrt{3}$;

y = $\sqrt{12}$ = 2$\sqrt{3}$;

x = 2; x = 2;

y = –2$\sqrt{3}$; y = 2$\sqrt{3}$.

Відповідь: (2; –2$\sqrt{3}$), (2; 2$\sqrt{3}$).