Відповіді на вправи підручника: 139

139. Якщо α, β, γ — кути трикутника, то який знак має сума: 1) sin α + sin β + sin γ; 2) cos α + cos β + cos γ? Відповідь поясніть.

Якщо α, β, γ – кути трикутника, то 0° < α < 180°, 0° < β < 180°,

0° < γ < 180°. Тоді: 0° < $\frac{\alpha }{2}$ < 90°, 0° < $\frac{\beta }{2}$ < 90°, 0° < $\frac{\gamma }{2}$ < 90°.

1) sin α, sin β, sin γ – додатні числа, отже, sin α + sin β + sin γ > 0 (сума має знак «плюс»);

2) якщо заданий трикутник гострокутний, то cos α > 0, cos β > 0, tg γ > 0 і cos α + cos β + cos γ > 0;

якщо заданий трикутник прямокутний, то якщо α = 90°, то cos α = 0, cos β > 0, cos γ > 0 i cos α + cos β + cos γ > 0; якщо заданий трикутник з тупим кутом α, то cos α < 0, косинуси гострих кутів cos β > 0, cos γ > 0 i cos β > |cos α|, тоді cos α + cos β + cos γ > 0;

3) $\frac{\alpha }{2}$, $\frac{\beta }{2}$, $\frac{\gamma }{2}$ – гострі кути; tg $\frac{\alpha }{2}$, tg $\frac{\beta }{2}$, tg $\frac{\gamma }{2}$ – додатні числа, тоді tg $\frac{\alpha }{2}$ + tg $\frac{\beta }{2}$ + tg $\frac{\gamma }{2}$ > 0 (сума має знак «плюс»).