Вправи: 411

411. Діагоналі трапеції перпендикулярні, і одна з них дорівнює

15 см. Знайдіть площу трапеції, якщо її висота дорівнює 12 см.

Дано: ABCD - трапеція;

AC ⊥ BD; AC = 15 см.

CK = 12 см.

Знайти: S_ABCD

Розв’язання

Проведемо CN ∥ BD.

SABCD = SACK

∆AKC (∠K = 90°):

sin A = CKAC = 1215 = 45 = 0,8

cos A = 1 - sin2A = 1 - 0,82 = 0,36 = 0,6.

∆ACN(∠C = 90°):

cos A = ACAN

AN = ACcos A = 150,6 = 2,5 (см)

S_ACK = 12 • AN • CK = 12 • 25 • 12 = 150 (см²)

Отже, S_ABCD = 150 см²

Відповідь: 150 см².

Задачі за готовими малюнками

1 - А. Вкажіть вектори: колінеарні, рівні, протилежні.

колінеарні: a, m, n і k; b i c

протилежні: m i n

1 - Б. Вкажіть вектори: колінеарні, рівні, протилежні.

AB = MN

N(x; y) - ?

AB = (7 + 3; 9 - 5) = (10; 4)

MN = (x + 1; y - 3)

У рівних векторів відповідні координати рівні:

x + 1 = 10 x = 9

y - 3 = 4 y = 7

Отже, N(9; 7)

Відповідь: N(9; 7).

2 - A. ABCD — паралелограм. Виразіть AP, AC, PD через a і b.

Розв’язання

AP = AB + BP = AB + 12 BC = a + 12 b;

AC = AB + AD = a + b;

PD = AD - AP = b - (a + 12 b) = b - a - 12 b = 12 b - a.

2 - Б. Виразіть через a іb AM, BM, AP, BP.

Розв’язання

2AM = AB + AC

AM = 12 AB + 12 AC = 12 a + 12 b;

BM = AM - AB = 12 a + 12 b - a = -12 a + 12 b;

AP = 23 AC = 23 b;

BP = AP - AB = 23 b - a = -a + 23 b.

3 - A. Доведіть: ABCD — ромб.

Дано: A(-2; -3), B(-1; 5),

C(6; 9), D(5; 1).

Доведіть: ABCD - ромб

Доведення

AB = (-1 + 2; 5 + 3) = (1; 8);

DC = (6 - 5; 9 - 1) = (1; 8).

Отже, AB = DC.

BC = (6 + 1; 9 - 5) = (7; 4);

AD = (5 + 2; 1 + 3) = (7; 4).

Отже, BC = AD.

Тому ABCD - паралелограм.

|AB| = 12+ 82 = 1 + 64 = 65;

|BC| = 72+ 42 = 49 + 16 = 65

Отже, AB = DC = BC = AD.

Звідси ABCD - ромб.

3 - Б. Знайти ∠A; ∠B; ∠C.

Дано: ∆АВС; А(1; -2);

В(9; 2), С(7; -4).

Знайти: ∠А; ∠В; ∠С.

Розв’язання

1) ∠A = (AC; AB).

AC = (7 - 1; -4 + 2) = (6; -2);

AB = (9 - 1; 2 + 2) = (8; 4).

cos A = AC • AB|AC| • |AB | = 6 • 8 + (-2) • 462 + (-2)2 •82 + 42 = 4040 •80 = 40402 =

= 12 = 22;

Отже, ∠А = 45°.

2) ∠B = (BA; BC).

BA = (1 - 9; -2 - 2) = (-8; -4);

BC = (7 - 9; -4 - 2) = (-2; -6).

cos B = BA • BC|BA| • |BC | = -8 • (-2) + (-4) • (-6)(-8)2 + (-4)2 •(-2)2 + (-6)2 = 16 + 2480 •40 =

= 40402 = 12 = 22.

Отже, ∠B = 45°.

3) ∠C = 180° - (45° + 45°) = 180° - 90° = 90°.

Відповідь: 45°; 45°; 45°.

4 - А. Знайти |m + n|; |m - n|.

Дано: |m| = 22; |n| = 3; (m; n) = 45°.

Знайти: |m + n|; |m - n|.

Розв’язання

|m + n| = (m + n)2 = m2+2mn +n2 =

= |m|2 + 2|m| • |n| • cos 45° + |n|2 =

=(22)2 + 2 • 22 • 3 •22+32= 8 + 12 + 9 = 29.

|m - n| = (m - n)2 = m2 - 2m • n + n2 =

= |m|2 - 2|m| •|n| • cos 45° + |n|2 =

= (22)2 - 2 • 22 • 3 •22 + 32 = 6 - 12 + 9 = 3

Відповідь: 29; 3.

4 - Б. Знайти рівняння ВН.

Дано: ∆АВС; А(-1; -4);

В(3; 5); С(5; -2)

Знайти рівняння ВН.

Розв’язання

Нехай Н(х; у) - точка шуканої прямої ВН і

ВН ⊥ АС. Тоді AC • BD = 0

Оскільки AC = (5 + 1; -2 + 4) = (6; 2);

BH = (x - 3; y - 5), то

AC • BH = 6(x - 3) = 2(y - 5)

6(x - 3) + 2(y - 5) = 0

6x - 18 + 2y - 10 = 0

6x + 2y - 28 = 0 - рівняння прямої ВH.

Відповідь: 6x + 2y - 28 = 0.

Самостійна робота

Варіант 1

1. Накресліть два довільні вектори a і b та побудуйте вектор c =

= 2a + 13 b.

2. Знайдіть косинус кута A трикутника ABC, якщо A(–3; 1), B(1; 3), C(5; –5).

Дано: ∆АВС; А(-3; 1),

В(1; 3), С(5; -5),

Знайти: cos A.

Розв’язання

AB = (1 + 3; 3 - 1) = (4; 2);

AC = (5 + 3; -5 - 1) = (8; -6).

cos A = AB • AC|AB| • |AC| = 4 • 8 + 2 • (-6)42+22 • 82+ (-6)2 = 32 - 1220 •100= 2020 • 10 =

= 225 = 55.

Відповідь: 55.

3. Знайдіть модуль вектора a = 5p + 2q, якщо |p| = 2, |q| = 1, (p; q)= 45°.

Дано: |p| = 2; |q| = 1; (p; q) = 45°; a = 5p + 2q

Знайти: |a|

Розв’язання

|a| = a2 = (5p + 2q)2 = 25p2 + 20pq + 4q2 =

= 25|p|2+ 20|p| •|q| • cos45° + 4|q|2 =

= 25 • (2)2 + 202 • 1 •22+4 • 1 = 50 + 20 + 4 = 74

Відповідь: 74.

Варіант 2

1. Накресліть два довільні вектори a і b та побудуйте вектор c =

= 12 a − 3b.

2. Знайдіть косинус кута B трикутника ABC, якщо A(3; 7), B(–3; –1), C(5; 3).

Дано: ∆АВС; А(3; 7);

В(-3; -1), С(5; 3).

Знайти: cos B.

Розв’язання

BA = (3 + 3; 7 + 1) = (6; 8);

BC = (5 + 3; 3 + 1) = (8; 4).

cos B = BA • BC|BA| • |BC|= 6 • 8 + 8 • 462+82•82+42 = 48 + 32100 •80 = 8010 •80 = 845 = 25 = 255.

Відповідь: 255.

3. Знайдіть модуль вектора n = 2a − 3b, якщо |a| = 2, |b| = 2,

(a; b) = 60°.

Дано: |a| = 2; |b| = 2; (a; b) = 60°; n = 2a - 3b

Знайти: |n|

Розв’язання

|n| = n2 = (2a -3b)2 = 4a2 - 12ab + 9b2 =

= 4|a|2- 12|a| •|b| • cos60° + 9|b|2 =

= 4 • 22 - 12 • 2 • 2 • cos 60° +9 • 22 = 16 -12 • 4 •12+36 =

= 16 - 24 + 36 = 28 = 27

Відповідь: 27.

Варіант 3

1. Накресліть два довільні вектори a і b та побудуйте вектор c =

= −2a + 12 b.

2. Знайдіть косинус кута C трикутника ABC, якщо A(–3; –3), B(5; 1), C(3; 5).

Дано: ∆АВС; А(-3; 3);

В(5; 1), С(3; 5).

Знайти: cos С.

Розв’язання

CB = (5 - 3; 1 - 5) = (2; -4);

CA = (-3 - 3; 3 - 5) = (-6; -2).

cos C = CB • CA|CB| • |CA|= 2 • (-6) + (-4) • (-2)22+(-4)2•(-6)2+(-2)2 = -12 + 820 •40 = -4202 = -152 = -210.

3. Знайдіть модуль вектора n = 4a − 3b, якщо |a| = 2, |b| = 3,

(a; b)= 30°.

Дано: |a| = 2; |b| = 3; (a; b) = 30°; n = 4a - 3b

Знайти: |n|

Розв’язання

|n| = n2 = (4a -3b)2 = 16a2 - 24ab + 9b2 =

= 16|a|2- 24|a| •|b| • cos30° + 9|b|2 =

= 16 • 22 - 24 • 2 • 3 • 32+9 • (3)2 = 64 - 72 + 27 = 19

Відповідь: 19.

Варіант 4

1. Накресліть два довільні вектори a і b та побудуйте вектор c =

= 13 a − b.

2. Знайдіть косинус кута B трикутника ABC, якщо A(–3; –5), B(3; 3), C(5; –1).

Дано: ∆АВС; А(-3; -5);

В(3; 3), С(5; -1).

Знайти: cos В.

Розв’язання

BA = (-3 - 3; -5 - 3) = (-6; -8);

BC = (5 - 3; -1 - 3) = (2; -4).

cos B = BA • BC|BA| • |BC|= -6 • 2 + (-8) • (-4)(-6)2+(-8)2•22+(-4)2 = -12 + 32100 •20 = 2010•20 = 220 = 225 = 15 = 55.

Відповідь: 55.

3. Знайдіть модуль вектора p = 3m− 4n, якщо |m| = 3, |n| = 1, (m; n)= 60°.

Дано: |m| = 3, |n| = 1; (m; n) = 60°; p = 3m - 4n

Знайти: |p|

Розв’язання

|p| = p2 = (3m -4n)2 = 9m2 - 24mn + 16n2 =

= 9|m|2- 24|m| •|n| • cos60° + 16|n|2 =

= 9 • 32 - 24 • 3 • 1 • 12+16 • 12 = 81 -36+16 = 16

Відповідь: 61.

Тестові завдання 2

1. Знайдіть координати вектора AB, якщо A(–1; –3), B(–7; 12).

A(-1; -3), B(-7; 12).

AB = (-7 + 1; 12 + 3) = (-6; 15).

Відповідь: Б.

2. Яка умова перпендикулярності векторів a і b?

Умова перпендикулярності векторів: a • b = 0.

Відповідь: В.

3. Дано: p = (−2; 1), q = (4; −3). Знайдіть координати вектора

m = 2p + 3q.

Дано: p = (-2; 1), q = (4; -3).

Знайти: m = 2p + 3q.

Розв’язання

m = 2p + 3q = 2(-2; 1) + 3(4; -3) = (-4; 2) + (12; -9) = (8; -7).

Відповідь: а.

4. Знайдіть довжину вектора a = (−2; 4).

a = (-2; 4)

|a| = (-2)2+ 42 = 4 + 16 = 20 = 25.

Відповідь: Г.

5. Який із векторів колінеарний вектору a = (−1; 4)?

(-1; 4) = -4(-1; 4) = (4; -16).

Відповідь: Г.

6. Встановіть вид трикутника ABC, якщоAB = (−1; 3), AC = (6; 2).

Розв’язання

AB • AC = -1 • 6 + 3 • 2 = -6 + 6 = 0; AB ⊥ AC.

Отже, ∆АВС - прямокутний.

Відповідь: В.

7. Знайдіть кут між одиничними векторами a і b, якщо a • b = 0,5.

Розв’язання

cos(a; b) = a • b|a| • |b| = 0,51 • 1 = 0,5

Отже, (a; b) = 60°.

Відповідь: Б.

8. При якому значенні m вектори a = (−2; 6) і b = (9; m) перпендикулярні?

Розв’язання

a • b = -2 • 9 + 6 • m = -18 + 6m; a • b = 0

-18 + 6m = 0

6m = 18

m = 3

Відповідь: В.

9. При якому значенні x вектори m = (3; x) і n = (-6; 7); колінеарні?

Розв’язання

Нехай m ∥ n, тоді 3-6 = x7

x = 3 • 7-6

x = -3,5

Відповідь: В.

10. У якому з випадків точки M₁ і M₂ збігаються?

Точки М₁ і М₂ збігаються, якщо ОМ₁ = ОМ₂

Відповідь: Б.

Типові задачі для контрольної роботи

1. Накресліть два довільні вектори a і b. Побудуйте вектори:

Побудуйте вектори

a) c = a + b; б) d = a - b;

в) m = 2a + 3b;

г) n = 0,5a - 2b;

2. Дано точки A(–1; 4), B(–3; 1), C(5; 0), D(3; –3). Доведіть, що

AB = CD.

Дано: A(-1; 4), B(-3; 1), C(5; 0), D(3; -3)

Довести: AB = CD

Доведення

AB = (-3 + 1; 1 - 4) = (-2; -3);

CD = (3 - 5; -3 - 0) = (-2; -3). Отже, AB = CD

3. Дано: a = (−1; 3), b = (−2; 4). Знайдіть |c|, якщо c = 5a − 2b.

Розв’язання

c = 5a - 2b = 5(-1; 3) - 2(-2; 4) = (-5; 15) - (4; 8) = (-1; 7).

|c| = (-1)2+72 = 1 + 49 = 50 = 52.

Відповідь: 52.

4. При якому значенні m вектори a = (m; 2) і b = (4; m+ 2): а) перпендикулярні; б) колінеарні?

Дано: a = (m; 2) і b = (4; m + 2);

a) a ⊥ b; б) a ∥ b

Знайти: m.

Розв’язання

a) a ⊥ b, якщо a • b = 0.

4m + 2(m + 2) = 0

4m + 2m + 4 = 0

6m = -4

m = -46

m = -23

б) a ∥ b, якщо m4 = 2m + 2;

m(m + 2) = 8

m² + 2m - 8 = 0

m = -4

m = 2

Відповідь: а) m = -23; б) m = -4, m = 2.

5. Дано точки A(3; 1), B(5; –2), C(–4; 5). Знайдіть координати точки D, якщо AB= CD.

Дано: A(3; 1), B(5; -2), C(-4; 5)

AB = CD.

Знайти: координати D(x; y)

Розв’язання

AB = (5 - 3; -2 - 1) = (2; -3);

CD = (x + 4; y - 5).

У рівні векторів відповідні координати рівні.

x + 4 = 2 x = -2

y - 5 = -3 y = 2

Відповідь: D(-2; 2).

6. Знайдіть модуль вектора c = p −2q, якщо |p| = 5, |q| = 4,

(p; q) = 60°.

Дано: c = p −2q, якщо |p| = 5, |q| = 4, (p; q) = 60°.

Знайти: |c|.

Розв’язання

|c| = c2 = (p - 2q)2 = p2 -4pq + 4q2 =

= |p|2 - 4 • |p| •|q| • cos60°+ 4|q|2 = 52 - 4 • 5 • 4 •12+ 4 •42 =

= 25 - 40 + 64 = 49 = 7

Відповідь: 7.

7. ABCD — прямокутник, AB = a, AD = b. Виразіть вектори AM і MD через вектори a і b, якщо M ∈ BC i BM : MC = 1 : 2.

Дано: ABCD - прямокутник;

AB = a ; AD = b; M ∈ BC;

BM : MC = 1 : 2.

Знайти: AM; MD.

Розв’язання

AM = AB + 12 BC = AB + 12 AD = a + 12 b;

MD = AD - AM = b - (a + 12 b) = -a + 12 b.

8. Доведіть, що чотирикутник з вершинами в точках A(–7; –5),

B(–5; 1), C(9; 3), D(7; –3) — паралелограм, і знайдіть кут між його діагоналями.

Дано: ABCD - чотирикутник;

А(-7; -5), В(-5; 1),

C(9; 3), D(7; -3).

Довести: ABCD - паралелограм.

Знайти: (OC; OD).

Розв’язання

AB = (-5 + 7; 1 + 5) = (2; 6);

DC = (9 - 7; 3 + 3) = (2; 6); AB = DC.

BC = (9 + 5; 3 - 1) = (14; 2);

AD = (7 + 7; -3 + 5) = (14; 2); BC = AD

Отже, ABCD - паралелограм.

О - середина BD: O(-5 + 72; 1 - 32) = O(1; -1).

OC = (9 - 1; 3 + 1) = (8; 4);

OD = (7 - 1; -3 + 1) = (6; -2).

cos(OC; OD) = OC • OD|OC| • |OD| = 8 • 6 + 4 • (-2)82+42 •62+ (-2)2 = 48 - 880 •40 =

= 40402 = 12 = 22.

(OC; OD) = 45°

Відповідь: 45°.

9. Знайдіть |a − b|, якщо |a| = 2, |b| = 4, |a + b| = 5.

Дано: |a| = 2, |b| = 4, |a + b| = 4, |a + b| = 5

Знайти: |a - b|.

Розв’язання

|a + b| = (a + b)2

a2 + 2ab + b2 = 5

|a|² + 2ab + |b|² = 25

2² + 2ab + 4² = 25

2ab = 25 - 4 - 16

2ab = 5

|a - b| = (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 = |a|2 - 5 +|b|2 =

= 22- 5 + 42 = 4 - 5 + 16 = 15.

Відповідь: 15.

10. Чи лежать точки M, P і K на одній прямій, якщо M(–7; 8), P(4; 1),

K(–40; 29)?

Розв’язання

MP = (4 + 7; 1 - 8) = (11; -7);

PK = (-40 - 4; 29 - 1) = (-44; 28);

11-44 = -728 = -14

MP = -14 PK

Отже, т. М, Р, К лежать на одній прямій.