Вправи: 285

285. Знайдіть площу прямокутного трикутника, якщо різниця катетів

дорівнює 2 см, а найменша медіана дорівнює 5 см.

Дано: ∆АВС; ∠С = 90°;

AC - CB = 2 см;

СК - медіана; СК = 5 см.

Знайти: S_ABC.

Розв’язання

За властивістю прямокутного трикутника:

AB = 2 • CK = 2 • 5 = 10 (см)

Нехай СВ = х см, тоді АС = х + 2 (см).

За теоремою Піфагора: AB² = AC² + CB².

(x + 2)² + x² = 10²

x² + 4x + 4 + x² - 100 = 0

2x² + 4x - 96 = 0|: 2

x² + 2x - 48 = 0

x₁ = -8 - не задовольняє умову

x₂ = 6

CB = 6 см; АС = 6 + 2 = 8 (см)

S_ABC = 12 AC • CB = 12 • 8 • 6 = 12 • 48 = 24 (см²)

Відповідь: 24 см².