Вправи: 974

974. Виконайте поворот рівнобедреного прямокутного трикутника з катетом 1 см навколо вершини прямого кута на 45°. Знайдіть площу

спільної частини даного трикутника і трикутника, який одержали

при повороті.

Розв'язання

Спільна частина ∆ABC і A'B'C' – чотирикутник CKDЕ.

СК – бісектриса, медіана і висота ∆ABC.

СК = 22 (за теоремою Піфагора).

СЕ – бісектриса, медіана і висота ∆A'B'C'.

СЕ = 22 (за теоремою Піфагора).

∆CKD = ∆CED (за гіпотенузою і катетом)

S_CKDE = 2 • S_CED = 2 • 12 • CE • ED = CE • ED

Нехай KD = DE = x, тоді B'D = x2

B'D + DE = B'E; B'E = 22.

Складемо рівняння

x2 + x = 22

x(1 + 2) = 22

x = 22(1+2) = 21-22(1-2) = 2-22

ED = 2-22 (см)

S_CKED = 22 • 2-22 = 22-24 = 2-12 (см²).

Відповідь: 2-12 см².