Вправи: 939

939. Вершина В рівнобедреного трикутника АВС при симетрії відносно прямої, що містить основу АС, переходить у точку D. Доведіть, що чотирикутник АВСD — ромб.

Дано: ∆ABC, AB = BC; AC –вісь симетрії, D – точка, симетрична В відносно AC.

Довести: ABCD – ромб.

Доведення: проведемо через середину AC – точку О – BO ⊥ AC. На продовженні відкладемо OD = OB. D – симетрична B. У ∆BAD AO ⊥ BD, BO = OD, отже, ∆BAD – рівнобедрений. BA = AD.

Aналогічно BC = CD. ∠BAO = ∠DAO, ∠BCO = ∠DCO, а оскільки ∆BAD і ∆BCD рівні, то ∠BАО = ∠DСО. CD ∥ BA, оскільки рівні внутрішні різносторонні кути при CD і AB і їх січній AC. У чотирикутника ABCD CD ∥ AB і CD = AB, то ABCD – паралелограм, у якого AB = BC = CD =

= AD, а отже, ABCD – ромб.