Вправи: 893

893. Чи рівні два паралелограми, якщо в них рівні:

1) дві діагоналі та кут між ними; 2) сторона і дві діагоналі;

3) периметри; 4) дві сусідні сторони й зовнішній кут?

1) Якщо у паралелограмів рівні діагоналі і кути між ними, то рівні половини діагоналей, які утворюють трикутники, і кути між цими сторонами трикутників. Тоді попарно рівні трикутники, а отже, відповідні сторони паралелограмів. З рівності трикутників маємо і рівність відповідних кутів паралелограмів. Отже, паралелограми рівні.

2) Нехай у паралелограмів ABCD і A'B'C'D' рівні AD = A'D', AC = A'C', BD = B'D'. Тоді AO = A'O', OD = O'D' (як половини рівних діагоналей).

Тоді ∆AOD ~ ∆A'O'D' (за трьома сторонами).

∠АОD = ∠А'О'D', ∠OAD = O'A'D'. Тоді ∠BOA = ∠B'O'A' (суміжні рівним кутам). BO = B'O', отже ∆BOA = ∆B'O'A' (за двома сторонами і кутом між ними, тоді AB = A'B', ∠BAO = ∠B'A'O' і ∠B'A'D' = ∠B'A'D'. У паралелограмів ABCD і A'B'C'D' AB = A'B', AD = A'D' і ∠A = ∠A', тоді паралелограми рівні.

3) Ні, наприклад, у паралелограмів зі сторонами 5 см і 3 см та 2 см і 6 см периметр рівні, але паралелограми не рівні.

4) Так, оскільки, якщо рівні дві суміжні сторони паралелограмів і зовнішній кут, то рівні дві сторони і кут між ними (якщо рівні зовнішні кути, то ріані і суміжні їм). Тоді паралелограми рівні.