Відповіді на вправи: 24.51

24.51. Відомо, що a + 3b = 10. Якого найменшого значення може

набувати вираз a² + b² і при яких значеннях a і b?

а + Зb = 10, а = 10 – 3b.

Тоді а² + b² = (10 – Зb)² + b² = 100 – 60b + 9b² + b² = 100 – 60b + 10b². Розглянемо функцію у = 10b² – 60b + 100. Її графіком є парабола, вітки якої напрямлені вгору. Найменшого значення функція набуватиме у вершині параболи: b = $\frac{-60}{-20}$ = 3. Якщо b = 3, то а = 10 – 3b = 10 – 9 = 1. Отже, а² + b² = 1² + З² = 10.

Відповідь: 10 при а = 1, b = 3.