Відповіді на вправи: 13.16 (1-2)

13.16. Розв’яжіть систему рівнянь.

1) x³ + y³ = 1, (x + y)(x² – ху + y²) = 1, x² – ху + y² = 1,

x + y = 1; x + y = 1; x = 1 – y;

(1 – y)² – y(1 – y) + y² – 1 – 0, 1 – 2y + y² – y + y² + y² – 1 = 0,

x = 1 – y; x = 1 – y;

3y² – 3y = 0, у(y – 1) = 0, y = 0 або y = 1, y = 0, або y = 1,

x = 1 – y; x = 1 – y; x = 1 – y; x = 1 x = 0.

Відповідь: (1; 0), (0; 1).

2) x³ – y³ = 28, (x – y)(x² + xy + y²) = 28, 7(x – y) = 28,

x² + ху + у² = 7; x² + xy + y² = 7; x² + xy + y² = 7;

x – y = 4, x = y + 4,

x² + xy + y² = 7; (y + 4)² + y(y + 4) + y² = 7;

x = y + 4, x = y + 4,

y² + 8y + 16 + y² + 4y + y² – 7 = 0; 3y² + 12y + 9 = 0;

x = y + 4, x = y + 4, y = –1 або y = –3,

y² + 4y + 3 = 0; y = –1 або y = –3; x = 3 x = 1.

Відповідь: (3; –1), (1; –3).

3) x² – y² = 7, ($\frac{12}{у}$)² – y² = 7, $\frac{144}{y^2}$ – y² – 7 = 0,

ху = 12; x = $\frac{12}{y}$; x = $\frac{12}{y}$;

y⁴ + 7y² – 144 = 0,

x = $\frac{12}{y}$;

y² = t, t² + 7t – 144 = 0; t₁ = 9, t₂ = –16.

y² = 9; y1 = –3, y₂ = 3; y² = –16 – немає розв'язків.

x₁ = $\frac{12}{-3}$ = –4; x₂ = $\frac{12}{3}$ = 4.

Відповідь: (–4; –3), (4; 3).

4) 3x² – 2y² = 19, 3x² – 2(–$\frac{6}{х}$)² = 19, 3x² – $\frac{72}{{х}^2}$ = 19,

ху = –6; у = –$\frac{6}{х}$; у = –$\frac{6}{х}$;

3x⁴ – 19x² – 72 = 0,

у = –$\frac{6}{х}$.

3x⁴ – 19x² – 72 = 0; D = 361 + 864 = 1225 = 35²;

${х}_1^2$ = $\frac{19-35}{6}$ = –$\frac{16}{6}$ = –$\frac{8}{3}$; ${х}_2^2$ = $\frac{19+35}{6}$ = $\frac{54}{6}$ = 9.

x² = –$\frac{8}{3}$ – немає розв'язків x² = 9, x = $\pm$3.

Якщо x = –3, то y = $\frac{6}{-3}$ = 2. Якщо x = 3, то y = –$\frac{6}{3}$ = –2.

Відповідь: (–3; 2), (3; –2).