Відповіді на вправи: 13.15 (1)

13.15. Розв’яжіть систему рівнянь.

1) $\frac{х}{у}$ + $\frac{у}{х}$ = 2,5,

2х – 3у = 3. Нехай $\frac{x}{y}$ = u, тоді $\frac{у}{х}$ = $\frac{1}{u}$, u $\ne$ 0.

Перше рівняння: u + $\frac{1}{u}$ = 2,5; u² – 2,5u + 1 = 0; u₁ = $\frac{1}{2}$, u₂ = 2.

Якщо u = $\frac{1}{2}$, то $\frac{x}{y}$ = $\frac{1}{2}$; y = 2x; 2x – 6x = 3; –4x = 3; x = –$\frac{3}{4}$; y = –$\frac{6}{4}$,

y = –1,5.

Якщо u = 2, то $\frac{x}{y}$ = 2; x = 2у; 4у – 3y = 3; y = 3; y = 2 • 3 = 6.

Відповідь: (–$\frac{3}{4}$; –1,5), (6; 3).

2) $\frac{x-2y}{x+y}$ – $\frac{x+y}{x-2y}$ = $\frac{15}{4}$,

4x + 5y = 3. Нехай $\frac{x-2y}{x+y}$ = a, тоді $\frac{х+у}{х-2у}$ = $\frac{1}{а}$, a $\ne$ 0.

a – $\frac{1}{a}$ = $\frac{15}{4}$; 4а² – 15а – 4 = 0; D = 225 + 64 = 289;

a₁ = $\frac{15-17}{8}$ = –$\frac{2}{8}$ = –$\frac{1}{4}$; a₂ = $\frac{15+17}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = 4.

Якщо a = –$\frac{1}{4}$, то $\frac{x-2y}{x+y}$ = –$\frac{1}{4}$; 4x – 8y = –x – y; 4x + x = 8y – y;

5x – 7y = 0.

5x – 7y = 0, • 5 25x – 35y = 0, + 5 • $\frac{21}{53}$ = 7у; у = $\frac{5•21}{53•7}$; у = $\frac{15}{53}$.

4x + 5y = 3; • 7 28x + 35y = 21;

53x = 21, x = $\frac{21}{53}$;

Якщо а = 4, то $\frac{х-2у}{х+у}$ = 4; x – 2y = 4x + 4y; –3x = 6y; x = –2y.

x + 2y = 0, • (–4) –4x – 8y = 0, +

4x + 5y = 3; 4x + 5y = 3; x = –2 • (–1) = 2.

–3y = 3, у = –1;

Відповідь: ($\frac{21}{53}$; $\frac{15}{53}$), (2; –1).

3) $\frac{1}{х}$ + $\frac{4}{у}$ = 4, • 2 $\frac{8}{у}$ + $\frac{2}{х}$ = 8, +

$\frac{1}{у}$ – $\frac{2}{х}$ = 10; $\frac{1}{у}$ – $\frac{2}{х}$ = 10; $\frac{1}{х}$ + 8 = 4; $\frac{1}{х}$ = –4; x = –$\frac{1}{4}$.

$\frac{9}{y}$ = 18; y = $\frac{1}{2}$.

Відповідь: (–$\frac{1}{4}$; $\frac{1}{2}$).

4) 4(x – y)² + 7x – y = 15,

2x + 5y = 1. Нехай x – y = а, тоді перше рівняння:

4а² + 7а – 15 = 0; D = 49 + 240 = 289;

a₁ = $\frac{-7-17}{8}$ = –$\frac{24}{8}$ = –3, a₂ = $\frac{-7+17}{8}$ = $\frac{10}{8}$ = $\frac{5}{4}$.

a) x – y = –3, • 5 5x – 5y = –15, +

2x + 5y = 1; 2x + 5y = 1; –2 – y = –3; y = 1.

7x = –14, x = –2;

б) x – y = $\frac{5}{4}$, • 5 5x – 5y = $\frac{25}{4}$, +

2x + 5y = 1; 2x + 5y = 1;

7х = $\frac{29}{4}$; х = $\frac{29}{28}$;

$\frac{29}{28}$ – у = $\frac{5}{4}$; у = $\frac{29}{28}$ – $\frac{35}{28}$; у = –$\frac{6}{28}$; у = –$\frac{3}{14}$.

Відповідь: (–2; 1), ($\frac{29}{28}$; –$\frac{3}{14}$).