Відповіді до завдань § 15 - § 21: 17.37

17.37. Знайдіть усі значення m, при яких рівняння x⁴ – (Зm + 2)х² + m² = 0 має чотири корені, які є послідовними членами арифметичної прогресії.

Якщо а і –а — корені з найменшим модулем, то прогресія матиме

вигляд –За, –а, а, За. Дійсно, $\frac{-3a+a}{2}$ = –а; $\frac{-a+3a}{2}$ = a.

Тоді х⁴ – (3m + 2)х² + m² = (х + 3а)(х + а)(х – а)(х – За);

х⁴ – (3m + 2)х² + m² = (х² – 9а²)(х² – a²);

х⁴ – (3m + 2)х² + m² = x⁴ – х²а² – 9х²а² + 9а⁴;

х⁴ – (3m + 2) х² + m² = х⁴ – 10х²а² + 9а⁴.

Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях: 10а² = 3m + 2; m² = 9а⁴. З першої рівності а² = $\frac{3m+2}{10}$. Підставимо у другу рівність: m² = 9 • ($\frac{3m+2}{10}$)²; 100m² = 9(9m² + 12m + 4);

100m² – 81m² – 108m – 36 = 0; 19m² – 108m – 36 = 0;

m = 6 або m = –$\frac{6}{19}$.

Відповідь: 6 або –$\frac{6}{19}$.