Відповіді до завдань § 12 - § 14: 13.25 (1)

13.25. Розв’яжіть систему рівнянь.

1) x + y + ху = 5, Нехай x + y = a, xy = b. a + b = 5, а = 5 – b,

хy(x + y) = 6. ab = 6; (5 – b)b = 6;

а = 5 – b, a = 5 – b, a = 5 – b, a = 5 – b, або

5b – b² – 6 = 0; b² – 5b + 6 = 0; b = 3 або b = 2; b = 3

а = 5 – b, a = 2, або a = 3,

b = 2; b = 3 b = 2.

а) x + y = 2, x = 2 – y, x = 2 – y, x = 2 – y,

ху = 3; (2 – y)у – 3 = 0; 2y – y² – 3 = 0; y² – 2y + 3 = 0;

x = 2 – у,

(y – 1)² + 2 = 0 – немає розв'язків.

б) x + y = 3, x = 3 – y, x = 3 – y, x = 3 – y,

ху = 2; (3 – y)у – 2 = 0; y² – 3y + 2 = 0; y = 2 або y = 1;

x = 3 – y, або x = 3 – y, x = 1, або x = 2,

y = 2 y = 1; y = 2 y = 1.

Відповідь: (1; 2); (2; 1).

2) ху + ух = 136, 6х2+6у2-13ху 6ху = 0, 6x² + 6y² – 13xy = 0,

x – y = 1; x = y + 1; x = y + 1,

x ≠ 0, y ≠ 0;

x = y + 1,

6(y +1)² + 6y² –13y(y + 1) = 0,

x ≠ 0, y ≠ 0;

х = y + 1, x = y + 1,

6y² + 12y + 6 + 6y²– 13y² –13y = 0, –y² – y + 6 = 0,

x ≠ 0, y ≠ 0; x ≠ 0, y ≠ 0;

x = y + 1, y = –3, або y = 2, y = –3. або y = 2,

y = –3 або y = 2; x = –3 + 1 x = 2 + 1; x = –2, x = 3.

Відповідь: (–2; –3); (3; 2).

3) (x + y)² – 2(x + y) + 1 = 0, Позначимо x + y = а, х – y = b.

(x – y)² + 3(х + y) – 4 = 0.

a² – 2a + 1 = 0, (а –1)² = 0, а = 1, або a = 1, x + y = 1,+

b² + 3b – 4 = 0; b = –4 або b = 1; b = –4 b = 1; x – y = –4;

2x = –3;

x = –1,5; –1,5 + y = 1; y = 2,5. x + y = 1,+

x – y = 1;

2x = 2; x = 1; 1 + y = 1; y = 0.

Відповідь: (1,5; 2,5); (1; 0).

4) х-2ух+у – х+ух-2у = 154;

4x + 5y = 3. Нехай х-2ух+у = а, тоді х+ух-2у = 1а; а – 1а – 154 = 0;

4a² – 15а – 4 = 0, D = 15² + 4 • 4 • 4 = 225 + 64 = 289 = 17²;

а ≠ 0; a₁ = 15-178 = –28 = –14; a² = 15+178 = 4;

a) x-2yx+ y = 4, x – 2y = 4x + 4y, 3х + 6y = 0, |• 4

4x + 5y = 3; 4x + 5y = 3; 4x + 5y = 3;| • (–3)

12x + 2 4y = 0,+

–12x – 15y = –9; 9y = –9; y = –1.

х-2•(-1)х+(-1) = 4; х+2х-1 = 4; x + 2 = 4x – 4; 3х = 6, x = 2.

б) х-2ух+у = –14, 4x – 8y = –x – y, 5x – 7y = 0, |• 4,

4x + 5y = 3; 4x + 5y = 3; 4x + 5y = 3;| (–5);

20x – 28y = 0,+

–20x – 25y = –15; –53у = –15; у = 1538.

4x + 5 • 1553 = 3; 4x = 3 – 7553; 4x = 13153; x = 2153.

Відповідь: (2153; 1553); (2; –1).