Відповіді до завдань § 8 - § 11: 10.24

10.24. x₁ і х₂ – корені рівняння х² – 6х + 3 = 0. Не розв’язуючи рівняння, знайдіть значення виразу $\frac{x_2}{x_1}$ + $\frac{x_1}{x_2}$.

За теоремою Вієта маємо: x₁ + x₂ = 6; x₁ • x₂ = 3.

(x₁ + x₂)² = x₂² + x₁² = 2x₂ • x₁, звідки

x₂² + x₁² = (x₁ + x₂)² – 2x₂ • x₁.

Отже, $\frac{x_2}{x_1}$ + $\frac{x_1}{x_2}$ = $\frac{x_2^2+x_1^2}{x_1{x}_2}$ = $\frac{(x_2^2+2x_2{x}_1+x_1^2)-2x_2{x}_1}{x_1{x}_2}$ = $\frac{{(x}_1+x_2{)}^2-2x_2{x}_1}{x_1{x}_2}$ = $\frac{6^2-2•3}{3}$ = $\frac{36-6}{3}$ = 10.

Відповідь: 10.