Задачі підвищеної складності з алгебри: 1

1. Доведіть, що при додатних значеннях a і b (a ≠ b) значення дробу a2- b2a-b більше за відповідне значення дробу a2+ b2a+b.

Розглянемо різницю:

a2- b2a-b – a2+ b2a+b = a3+ ba2- ab2- b3- a3+ ba2- ab2+ b3a-b(a+b) = 2ba2- 2ab2a-b(a+b) = 2ab(a-b)a-b(a+b) = 2aba+b .

Оскільки а > 0 i b > 0, то 2aba+b > 0. Тому a2- b2a-b > a2+ b2a+b, що й треба було довести.